前言

在头条创作了一个月左右的时间，收获了50+粉丝，很是开心，我会把数据结构与算法的文章更新到底，第一次看我文章的同仁如果觉得不错的话就关注一下我哦，你的支持就是我创作的动力。

时间复杂度和空间复杂度详解(初学者请点击)：传送门

一、什么是跳表

我们在之前介绍了十分优秀的二分查找算法，但是它只能作用于有序数组上，查找起来比较方便，但是数组中插入和删除元素是比较麻烦的；那么有没有办法让二分查找也能作用于有序链表上，从而达到查找、插入和删除元素都十分的快速呢？

对于普通的有序列表来说，当然不能实现我们的目标，如下查找的时间复杂度为O(n)；

我们可以基于原始链表建立一个 索引层，比如每两个节点提取一个节点到索引层：

如此，两种数据结构我们查找元素16的比较次数分别为10次和8次，确实能提高查询速度；我们更近一步，再次建立第二级索引：

此时查找元素16比较的次数只需要比较7次即可；

如果在大数据量的有序链表中，我们建立很多层索引，使得最高层索引只有两个节点，那么就实现了类似二分查找的算法思想，此时这种数据结构就被成为跳表。

二、跳表性能分析

2.1 时间复杂度

假设有序链表总节点个数为n，我们建立索引时每两个节点提取一个索引节点；那么第一级索引共有n/2个节点；

第k级索引共有（n/2^k）个节点，假设k为最高级索引，为2个节点，那么2=(n/2^k)，n=2(k+1)，k=logn-1，如果原始链表也算进去的话，k=logn正好是整个数据结构的高度。

假设每一层需要遍历m个节点，那么时间复杂度就可以表示为O(mlogn)，但是推断m是常量级别的，因此可以忽略，那么整个查找过程时间复杂度就是O(logn)，竟然和二分查找是一样的高效！

2.2 空间复杂度

第一级索引需要n/2个节点，第二级需要n/2^2个节点，依次类推，第k级索引需要的节点个数为n/2^k，这正好是一个等比数列，等比数列求和的结果是n-2，所以空间复杂度为O(n)，这是一个以空间换时间的策略；

我们可以每3个节点或者每4个节点往上提取一个索引节点，如此可以适当减少需要的额外空间，但是空间复杂度仍然为O(n)；如果有序链表存储的是大对象，那么索引节点中无需存放整个大对象，只要存储对象的指针即可，所以此时空间复杂度就显得不那么重要了；

2.3 跳表的插入和删除

跳表因为是顺序链表，所以真正插入和删除的时间复杂度都是O(1)，但是找到需要插入节点的位置或者找到待删除的节点时间复杂度为O(logn)；

跳表在删除的时候，除了需要删除原始有序链表中的节点，还需要同步删除k级索引中的全部该索引节点；

跳表在插入元素式，极端情况下会导致两个索引节点中存在大量的原始节点，时间效率极有可能会退化为单链表的O(n)，所以需要动态地平衡和更新k级索引节点；

三、跳表使用场景

Redis在存储有序集合的时候就用到了跳表+散列表的数据结构，跳表和红黑树相比，插入、删除、查找的时间复杂度相同，但是跳表在按照区间查找时明显具有效率优势，而且跳表实现起来比红黑树要简单易懂，不容易出错。

红黑树等常用数据结构在程序语言中都是封装好的，我们想用的话直接拿来用即可，比如HashMap，但是跳表却没有对应的封装好的数据结构，想用的话开发者必须自己去实现。

四、代码实现跳表Skiplist以及优化

代码来源于极客时间《数据结构和算法之美》

github地址：
https://github.com/wangzheng0822/algo（数据结构和算法必知必会的50个代码实现）

4.1 作者王争给出的跳表实现方式

/**
 * 跳表的一种实现方法。
 * 跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。
 *
 */
public class SkipList {

  private static final float SKIPLIST_P = 0.5f;
  private static final int MAX_LEVEL = 16;

  private int levelCount = 1;

  private Node head = new Node();  // 带头链表

  public Node find(int value) {
    Node p = head;
    for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
      while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
        p = p.forwards[i];
      }
    }

    if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
      return p.forwards[0];
    } else {
      return null;
    }
  }

  public void insert(int value) {
    int level = randomLevel();
    Node newNode = new Node();
    newNode.data = value;
    newNode.maxLevel = level;
    Node update[] = new Node[level];
    for (int i = 0; i < level; ++i) {
      update[i] = head;
    }

    // record every level largest value which smaller than insert value in update[]
    Node p = head;
    for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
      while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
        p = p.forwards[i];
      }
      update[i] = p;// use update save node in search path
    }

    // in search path node next node become new node forwords(next)
    for (int i = 0; i < level; ++i) {
      newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
      update[i].forwards[i] = newNode;
    }

    // update node hight
    if (levelCount < level) levelCount = level;
  }

  public void delete(int value) {
    Node[] update = new Node[levelCount];
    Node p = head;
    for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
      while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
        p = p.forwards[i];
      }
      update[i] = p;
    }

    if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
      for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
        if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
          update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
        }
      }
    }

    while (levelCount>1&&head.forwards[levelCount]==null){
      levelCount--;
    }

  }

  // 理论来讲，一级索引中元素个数应该占原始数据的 50%，二级索引中元素个数占 25%，三级索引12.5% ，一直到最顶层。
  // 因为这里每一层的晋升概率是 50%。对于每一个新插入的节点，都需要调用 randomLevel 生成一个合理的层数。
  // 该 randomLevel 方法会随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数，且 ：
  //        50%的概率返回 1
  //        25%的概率返回 2
  //      12.5%的概率返回 3 ...
  private int randomLevel() {
    int level = 1;

    while (Math.random() < SKIPLIST_P && level < MAX_LEVEL)
      level += 1;
    return level;
  }

  public void printAll() {
    Node p = head;
    while (p.forwards[0] != null) {
      System.out.print(p.forwards[0] + " ");
      p = p.forwards[0];
    }
    System.out.println();
  }

  public class Node {
    private int data = -1;
    private Node forwards[] = new Node[MAX_LEVEL];
    private int maxLevel = 0;

    @Override
    public String toString() {
      StringBuilder builder = new StringBuilder();
      builder.append("{ data: ");
      builder.append(data);
      builder.append("; levels: ");
      builder.append(maxLevel);
      builder.append(" }");

      return builder.toString();
    }
  }

}

4.2 作者ldb基于王争的代码给出的优化

import java.util.Random;

/**
 * 1，跳表的一种实现方法，用于练习。跳表中存储的是正整数，并且存储的是不重复的。
 * 2，本类是参考作者zheng ，自己学习，优化了添加方法
 * 3，看完这个，我觉得再看ConcurrentSkipListMap 源码，会有很大收获
 */
public class SkipList2 {

    private static final int MAX_LEVEL = 16;
    private int levelCount = 1;

    /**
     * 带头链表
     */
    private Node head = new Node(MAX_LEVEL);
    private Random r = new Random();

    public Node find(int value) {
        Node p = head;
        // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                // 找到前一节点
                p = p.forwards[i];
            }
        }

        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            return p.forwards[0];
        } else {
            return null;
        }
    }

    /**
     * 优化了作者zheng的插入方法
     *
     * @param value 值
     */
    public void insert(int value) {
        int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel();
        // 每次只增加一层，如果条件满足
        if (level > levelCount) {
            level = ++levelCount;
        }
        Node newNode = new Node(level);
        newNode.data = value;
        Node update[] = new Node[level];
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            update[i] = head;
        }

        Node p = head;
        // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                // 找到前一节点
                p = p.forwards[i];
            }
            // levelCount 会 > level，所以加上判断
            if (level > i) {
                update[i] = p;
            }

        }
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
            update[i].forwards[i] = newNode;
        }

    }

    /**
     * 优化了作者zheng的插入方法2
     *
     * @param value 值
     */
    public void insert2(int value) {
        int level = head.forwards[0] == null ? 1 : randomLevel();
        // 每次只增加一层，如果条件满足
        if (level > levelCount) {
            level = ++levelCount;
        }
        Node newNode = new Node(level);
        newNode.data = value;
        Node p = head;
        // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                // 找到前一节点
                p = p.forwards[i];
            }
            // levelCount 会 > level，所以加上判断
            if (level > i) {
                if (p.forwards[i] == null) {
                    p.forwards[i] = newNode;
                } else {
                    Node next = p.forwards[i];
                    p.forwards[i] = newNode;
                    newNode.forwards[i] = next;
                }
            }

        }

    }

    /**
     * 作者zheng的插入方法，未优化前，优化后参见上面insert()
     *
     * @param value
     * @param level 0 表示随机层数，不为0，表示指定层数，指定层数
     *              可以让每次打印结果不变动，这里是为了便于学习理解
     */
    public void insert(int value, int level) {
        // 随机一个层数
        if (level == 0) {
            level = randomLevel();
        }
        // 创建新节点
        Node newNode = new Node(level);
        newNode.data = value;
        // 表示从最大层到低层，都要有节点数据
        newNode.maxLevel = level;
        // 记录要更新的层数，表示新节点要更新到哪几层
        Node update[] = new Node[level];
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            update[i] = head;
        }

        /**
         *
         * 1，说明：层是从下到上的，这里最下层编号是0，最上层编号是15
         * 2，这里没有从已有数据最大层（编号最大）开始找，（而是随机层的最大层）导致有些问题。
         *    如果数据量为1亿，随机level=1 ，那么插入时间复杂度为O（n）
         */
        Node p = head;
        for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            // 这里update[i]表示当前层节点的前一节点，因为要找到前一节点，才好插入数据
            update[i] = p;
        }

        // 将每一层节点和后面节点关联
        for (int i = 0; i < level; ++i) {
            // 记录当前层节点后面节点指针
            newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
            // 前一个节点的指针，指向当前节点
            update[i].forwards[i] = newNode;
        }

        // 更新层高
        if (levelCount < level) levelCount = level;
    }

    public void delete(int value) {
        Node[] update = new Node[levelCount];
        Node p = head;
        for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
            while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                p = p.forwards[i];
            }
            update[i] = p;
        }

        if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value) {
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i) {
                if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value) {
                    update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
                }
            }
        }
    }

    /**
     * 随机 level 次，如果是奇数层数 +1，防止伪随机
     *
     * @return
     */
    private int randomLevel() {
        int level = 1;
        for (int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i) {
            if (r.nextInt() % 2 == 1) {
                level++;
            }
        }
        return level;
    }

    /**
     * 打印每个节点数据和最大层数
     */
    public void printAll() {
        Node p = head;
        while (p.forwards[0] != null) {
            System.out.print(p.forwards[0] + " ");
            p = p.forwards[0];
        }
        System.out.println();
    }

    /**
     * 打印所有数据
     */
    public void printAll_beautiful() {
        Node p = head;
        Node[] c = p.forwards;
        Node[] d = c;
        int maxLevel = c.length;
        for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--) {
            do {
                System.out.print((d[i] != null ? d[i].data : null) + ":" + i + "-------");
            } while (d[i] != null && (d = d[i].forwards)[i] != null);
            System.out.println();
            d = c;
        }
    }

    /**
     * 跳表的节点，每个节点记录了当前节点数据和所在层数数据
     */
    public class Node {
        private int data = -1;
        /**
         * 表示当前节点位置的下一个节点所有层的数据，从上层切换到下层，就是数组下标-1，
         * forwards[3]表示当前节点在第三层的下一个节点。
         */
        private Node forwards[];

        /**
         * 这个值其实可以不用，看优化insert()
         */
        private int maxLevel = 0;

        public Node(int level) {
            forwards = new Node[level];
        }

        @Override
        public String toString() {
            StringBuilder builder = new StringBuilder();
            builder.append("{ data: ");
            builder.append(data);
            builder.append("; levels: ");
            builder.append(maxLevel);
            builder.append(" }");
            return builder.toString();
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        SkipList2 list = new SkipList2();
        list.insert(1, 3);
        list.insert(2, 3);
        list.insert(3, 2);
        list.insert(4, 4);
        list.insert(5, 10);
        list.insert(6, 4);
        list.insert(8, 5);
        list.insert(7, 4);
        list.printAll_beautiful();
        list.printAll();
        /**
         * 结果如下：
         * null:15-------
         * null:14-------
         * null:13-------
         * null:12-------
         * null:11-------
         * null:10-------
         * 5:9-------
         * 5:8-------
         * 5:7-------
         * 5:6-------
         * 5:5-------
         * 5:4-------                    
         * 8:4-------
         * 4:3-------5:3-------6:3-------7:3-------8:3-------
         * 1:2-------2:2-------          4:2-------5:2-------6:2-------7:2-------8:2-------
         * 1:1-------2:1-------3:1-------4:1-------5:1-------6:1-------7:1-------8:1-------
         * 1:0-------2:0-------3:0-------4:0-------5:0-------6:0-------7:0-------8:0-------
         * { data: 1; levels: 3 } { data: 2; levels: 3 } { data: 3; levels: 2 } { data: 4; levels: 4 }
         * { data: 5; levels: 10 } { data: 6; levels: 4 } { data: 7; levels: 4 } { data: 8; levels: 5 }
         */
        // 优化后insert()

        SkipList2 list2 = new SkipList2();
        list2.insert2(1);
        list2.insert2(2);
        list2.insert2(6);
        list2.insert2(7);
        list2.insert2(8);
        list2.insert2(3);
        list2.insert2(4);
        list2.insert2(5);
        System.out.println();
        list2.printAll_beautiful();


    }

}